□ 47 数列 数列{(x+2)}がす 427)}がすべての実数xに対して収束するとき,かの値の範囲を 求めよ。 ただし, p>0 とする。

47 ■指針 ■ 数列 がすべての実数xに対して x2+2D 収束 x 1 がすべての実数xに対 x2+2D して成り立つ 不等式を2次不等式に変形して考える 153 与えられた数列が収束するための必要十分条件 1) x は -1<- ≤1 Joi x2+2p p>0より, x2+2p>0であるから、不等式の各 辺に x2 + 2p を掛けて x2-2p<x≦x2+2p から = x² = 2 p < x x x 5 = x² + x + 2 p > 0 x≦x2+2pから x2-x+2p≧0 ① 2次方程式 x2+x+2p=0, x2-x+2p=0の判 別式をそれぞれ D1, D2 とすると,2つの不等式 ① ② がすべての実数xに対して成り立つため D<0 かつ DSO の必要十分条件は D<0 から I 1-8p<0 よって p> ③ 8 D2≦0 から 1-8p≤0 1 よって ④ 8 したがって, 求めるの値の範囲は, 3, 4, 1 Job >0の共通範囲を求めて p> 8