57 関数 f(x) はすべての実数s, tに対してf(s+t)=f(s)et+f(t)es を満 たし, 更に x=0で微分可能で f'(0) =1 とする。 (1) f (0) を求めよ。 f(h) th (2) lim を求めよ。 h→0 h (3) 関数 f(x) はすべてのxで微分可能であることを, 微分の定義に従っ て示せ。更に f'(x) f(x) を用いて表せ。 (4) 関数g(x) を g(x)=f(x)e-x で定める。 g'(x) を計算して関数 f(x) を求め [東京理科大] 61

f(x+h)-f(x) (3) lim =lim f(x)e"+f(h)e--f(x) h→0 h h→0 = f(x) lim eh-1 h→0 h (h)e-1(x) +elim f(h) h→0 h eh-1 lim -=1, (2) より lim f(h) h→0 h =1であるから h→0 h f(x+h)-f(x) lim h) = f(x) = f(x)+ ex h→0 よって, f(x) はすべてのxで微分可能である。 また f'(x)= f(x)+e*