y=x^2とy=-x^2という二つの関数がx軸で対称なのは、グラフを実際に書いてみるとわかりやすいと思います。x軸で対称というのは、x軸で折ってみるとその二つのグラフがぴったり重なるということです。

y=x^2のグラフは原点を頂点として下に凸、つまり上開きのグラフになりますよね。そしてy=-x^2のグラフは上に凸、つまり下開きのグラフになります。これをx軸でパタッと折ってみると、きれいに二つのグラフが重なります。よって対称であると判断できます。

逆にこの二つのグラフをy軸で折ると、一見かさってそうに見えますがそれはあくまでそれぞれのグラフが勝手に重なっているだけで、y=x^2とy=-x^2はお互いには重なりません。よって対称とは言えません。
少しこんがらがってしまうと思いますが、y=x^2もy=-x^2もy軸で対称ですが、y=x^2「と」y=-x^2はy軸で対称ではなくx軸で対称です。

日本語が難しくてわかりにくいと思いますので、何かわからないところがあれば教えてください！