31 点Pが曲線 x2-4y2=4の上を動くとき, 点と点 (5, 0) の距離の最小値を 求めよ。 [21 神奈川大] *32 連立不等式 x 2 +4y'≦4, x+2y≧2 の表す領域をDとする。 点 (x, y) がD内 を動くとき 2x+yの最小値は また, 最大値は である。 そのときのx,yはx=2, y= である。 ]であり, [15 同志社大〕 *33p>0とし, 点F (1, 0) y軸から等距離にある点の軌跡をCとする。 CS (1) Cを表す方程式を求めよ。 (2) yo≠0 とする。 C上の点P (x, y) におけるCの接線lの方程式を求めよ。 ) の交点をQと守るとき、FP=FQであることを証明せよ。 「13 鹿児島大)

32 2次曲線 領域と最大最小 出題テーマと考え方 → 連立不等式 x 2 +4y2≦4, x+2y≧2 の表す領域 を図示し, それと直線2x+y=kが共有点をもつ ようなkの最大値, 最小値を求める。 x2+4y≦4, x+2y≧2 の表す領域 Dは,右の 図の斜線部分である。 ただし,境界線を含む。 2x+y=kとおくと y ① 0 y=-2x+k ① 図より, kは,直線 ① が点 (0, 1) を通るとき, 最小となる。 よって, その最小値は k=2.0+1=1 また,kは,直線 ①が楕円 x2 +4y2 = 4 ②に ...... 第1象限の点で接するとき, 最大となる。 ①,② からy を消去して x2+4(-2x+k)²=4 整理すると 17x2-16kx+4(k-1) = 0 (3) ③の判別式をD とすると Do =(-8k)² - 17.4(k² −1) = −4(k² – 17) Do=0 から よって k2-17=0 k=±√17 図より, k = √17 のとき, 直線 ①は楕円② に第1 象限の点で接する。 このときの接点の座標を (x1,y1) とすると S 8 8 x117 17 -k=⋅ √17 8/17 . = 17 8/17 y=-2. 17 +√17. = 17 √17 ウ 18/17 エ したがって, kは x == 17 , y= √17 17 の のとき 最大値1/17 をとるるキャン