第4回 第 第5問 (選択問題(配点 16 袋の中に赤球2個と白球4個が入っている。 この袋から, 3個の球を同時に取り出 し, それらの球の色を確認して袋に戻すという試行をTとする。 Tを1回行ったと き取り出した3個の球のうち赤球の個数をYとする。 第1回 (2)Tを1回行うごとに, Y = 0 であれば3点を獲得し, Y = 0 であれば1点を獲得 するとする。 Tを繰り返し50回行ったとき,得点の合計をZとする。このとき,50回のうち Y = 0 となった回数を W とする。 ア ウ (1) P(Y=0)= P(Y=1)= イ I 確率変数 W は ク に従うので,W の平均はケコ Wの分散は サ である。 × X Z = シ W + スセ であるから, 確率変数 Zの平均はソタ Zの標準 カ であり, 確率変数Yの平均 (期待値) は オ Yの分散は である。 キ 偏差は チ ツ である。 × (数学II,数学B,数学C 第5問は次ページに続く。) ク については,最も適当なものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。 ⑩ 正規分布 N (0, 1) ② 正規分布 N 50, ④ 正規分布 N ( 108 ) ① 二項分布 B(0, 1) ③二項分布 B 50, 4) ⑤二項分布 B (10,8)

第5問 統計的な推測 あるから, C3通りある。 よって (1)3個の球の取り出し方は C3通りあり, これらは同様に確か しい。このうち Y = 0 となるのは, 白球3個を取り出す場合で P(Y=0)=4C3. 1 6C3 20 5 ← 赤 ×2 白×4. 3個 6個 C3= 6.5-4 3.2.1 =20, 4C3=C₁ =4. である. から,2C1×4C2通りある。 よって Y=1 となるのは,赤球1個と白球2個を取り出す場合である Yのとり得る値は 0, 1, 2 であるから P(Y=1)= 2C1X4C2 2×6 6C3 3 20 5 である. 同様に P(Y=2) =1-{P(Y=0)+P(Y=1)} 1-(1/3+/2/3) =1- P(Y=2)=2C2X4C11×4_1 6C3 20 である. 確率変数 Yの確率分布は次のようになる. Y 0 1 2 計 3 P 15 1 [5 と求めてもよい。 平均 (期待値),分散 確率変数Xのとり得る値を X17 X2ヶ.. X とし, Xがこれらの値をとる確率を それぞれ P1, P2, Pn とすると, Xの平均(期待値)E(X) は したがって, Yの平均 (期待値) は + 2. 1 であり,Yの分散は (0². 11+1². 33 +2². 1)-12- 2 1'= -1= 5 E(X)=) であり, Xの分散 V (X) は E(X) = m として V(X)= または である. ...D V(X)=E(X2)-{E(X)}....② を繰り返し50回行ったとき, Y=0 となった回数が W であるか ら P(W=r) = 500 (2)試行Tを1回行ったとき, Y = 0 となる確率は である. T 5 ここでは②を用いた. ―二項分布 50-r -7)=C()() (r=0, 1, 2, ..., 50) 2,…, であり,確率変数 Wは二項分布B 50, 15 ③ に従う. よって,W の平均E(W) は nを自然数, 0 << 1 とする. 確率変数Xのとり得る値が 0, 1, 2,…,n であり, Xの確率分布が P(X=r)= "Crp(1-p)"-r (r=0, 1, 2,...,n) であるとき、この確率分布を二項分 布といい, B(n, p) で表す. また, 確率変数Xは二項分布 B(n, p) に 従うという. -13-

E(W)=50.1 = 10 であり,Wの分散 V(W) は である. 1 V(W)=50. • 55 8 50回後の得点の合計 Zは Z=3・W+1・(50-W) W+ 2 = 50 二項分布の平均,分散・ 確率変数Xが二項分布 B(n, か) に従うとき, g=1-p とすると E(X)=np V(X)=npq. と表されるから, 確率変数 Zの平均E(Z) は E(Z)=E(2W+50) 平均の性質 =2E(W)+50 =2・10+50 70 である.また,Zの分散V(Z) は 確率変数X と定数α, bに対し E(ax+b)=aE(X) +6. V(Z)=V(2W+50 ) =22V(W) =22.8 -分散の性質 「確率変数X と定数 α 6 に対 V(ax+6)=a2V(X). であるから, Z の標準偏差 6 (Z) は である. o(Z)=V(Z)=√2.8= 4 2