重要 例題25 三角形の個数と組合せ 00000 (1) 正八角形 A1 A2・・・・・・ Ag の頂点を結んでできる三角形の個数を求めよ。 (2) (1)の三角形で, 正八角形と1辺あるいは2辺を共有する三角形の個数を求め よ。 とい (3)正n角形A1A2Aの頂点を結んでできる三角形のうち,正n角形と辺 を共有しない三角形の個数を求めよ。ただし5 とする。 〔類 法政大麻布大] 基本 24 335

8・7・6 8C3= 解答 (1)正八角形の8つの頂点から,3つの頂点を選んで結べば,1 つの三角形ができるから,求める個数は (2) 人 E40 A1 Az A8 =56 (個) 3.2.1 (2)[1] 正八角形と1辺だけを共有する三角形は,各辺に対 A し,それに対する頂点として, 8つの頂点のうち,辺の両端 および両隣の2頂点以外の頂点を選べるから,求める個数 は (8-4832 (個)、(3)は単に3 A7 A A6 A5 32+840 (個)通りず [2] 正八角形と2辺を共有する三角形は、隣り合う2辺で 頂点1つに三角形が1つ対 角形は、応する。 できる三角形であるから, 8個ある。 よって、 求める個数は (3)正n角形の頂点を結んでできる三角形は、全部で3個あ る。そのうち、 正n角形と1辺だけを共有する三角形は (2) (*)(三角形の総数) (1辺だけを共有するもの) ! (2辺を共有するもの) n≧5のとき n(n-4) 個あり 2辺を共有する三角形はn個 あるから,正 n角形と辺を共有しない三角形の個数は (*) nC3-n(n-4)-n= n(n-1)(n-2) (1)=((n-1)(n-2) (+) 1 = 6 3.2.1 -n(n-4)-n 3組に分ける方法は6(n-4)-6} -n(n-4) (n-5) (個) 8 4, 5), B(8, 9), C(6, 7) 116 -n(n²-9n+20) tite