例題 170 散布図と相関係数 下の表は、ある高校に兄弟で在学する生徒9組の身長をまとめたもので る。兄の身長をx, 弟の身長をyとする。 179 173 184 172 169 166 170 x (cm) 172 165 167 y (cm) 175 174 176 170 171 166 163 166 (1) 兄の身長の平均値xと弟の身長の平均値をそれぞれ求めよ。 (2) 兄の身長の標準偏差 S. と弟の身長の標準偏差 sy をそれぞれ求め、 身長の相関係数を求めよ。さらに、この結果から兄と弟の身長のあ 相関関係があるといえるか。 思考プロセス 定義に戻る xとyの共分散 ①xとyの相関係数 = ( x の標準偏差) × (yの標準偏差) xyの共分散 xの分散yの分散 (x の分散)=(x の偏差) の平均値 (v の分散)=(yの偏差) の平均値 (xとyの共分散)= (x の偏差) x (yの偏差)の平均値 散布図 相関係数rは -1≦x≦1 を満たす定数で,正の相関関係が強いほどの値は1 近づき、負の相関関係が強いほどの値は-1に近づく。 ma r=-1 強い 弱い r=0 弱い 強い r=1 負の相関関係 正の相関関係 Action» データの相関関係は,相関係数と散布図から判断せよ 解 (1) x = (172 + 166 + 170 + 179 + 173 + 184 例題 160 +172+169+163) = 172 (cm) 1 y = 9 (167 + 165 + 170 + 175 + 174 + 176 〔(別解) x に + 171 + 166 + 166) = 170(cm) 170 + 1/(2+(-4) +0+9 +3 +14 +2+(-1)- 仮平均を170 として使 すると、より早く正

x y 172 167 0 0 -3 1 166 165 -6 36 -5 (2) x, y, x-x, (x-x)2, y-y, (y- y)2, (x-x)(y- y) の表をつくると下のようになる。 x-x(x-x)y-y (y-y) (x-x)(y-y) 表を作成すると分散や共 分散の値を計算しやすい。 9 2 25 170 170 -2 4 0 0 34 179 175 7 49 LO 5 25 173 174 1 1 4 5 16 184 176 12 6 172 171 61 40 20 144 36 7 1 03003584720 89 169 166 -3 9 -4 16 163 166-9 81 -4 16 99 12 36 計 15481530 0 324 0 144 189 平均値 172 170 36 16 21 分散は この表より, Sx2=36, sy 2 = 16 であるから 164 x= √36=6(cm), Sy = √16=4(cm) (3) 兄の身長xと弟の身長 y YA の散布図は右の図。 185 また,(2)の表より, 兄の身 180 長と弟の身長の共分散 Sxy 175 は Sxy = 21 であるから, 170 {(データの値) (平均値)} の平均値,標準偏差は分 散の正の平方根である。 兄弟の身長 (x, y) を座標 とする点を平面上にとっ た図が散布図である。 共分散はxの偏差とyの 偏差の積の平均値である。 求める相関係数は 165 y Sxy 175 4.0 SxSy 165 170 175 180 185 x 170] 21 165 10.0 = = 0.875 6 × 4 0 165 170 175 180 185 x ある。 よって、この高校に兄弟で在学する生徒9組において 兄の身長と弟の身長には、正の相関関係があるといえる。 係数の両方から考える。 例えば,下の散布図で, rは1に近 いが,正の 相関関係が あるとはい えない。 散布図において, データの値の組が対応する点は右上が相関関係は散布図と相関 りの直線状に分布しており、相関係数rも1に近い値で