練習 次の不等式を証明せよ。 は自然数とする。 (2) n≧10 のとき 2">10m² ②57 (1) n!≧2"-1 [名古屋市大] [類 茨城大] 証明する不等式を ① とする。 (1) [1] n=1のとき (左辺)=1!=1, (右辺) =2°=1 よって, ① は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると k!≧2k-1 ② n=k+1のとき, ①の両辺の差を考えると,②から (k+1)!-2(k+1)-1=(k+1) ・k!-2k ≧(k+1)2-1-2.2k-1 = =(k-1)2k-10 ゆえに (k+1)!≧2(k+1)-1 よって, n=k+1のときにも ①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 ←A≧Bの証明 → A-B≧0 を示す。 ←k+1>0,② から (k+1) ・k!≧(k+1)•2-