Think 例題14 はさみ x 次の問いに答えよ. を求めよ. (1) 極限値lim n mk(k+1) 00 (2) 極限値 limon² 00 2月 (2k-1)(2k+1). 2n (3)(12)の結果を利用して、極限値 lim (12/21) k+1} を求めよ. 11-0 を求めよ. (東京理科大 1 考え方 (1) k(k+1) kk+1 wwwwww と部分分数に分解して考える. (2) (2k-1)(2k+1) 122 2k-1 2k+1/ と部分分数に分解して考える. (3) は(1)のように部分分数に分解することはできない (1)の結果を利用することを考えると,3つの極限値は, 2月 lim nΣ- 1178 1 in (kの多項式)] という式になっている. 1 そこで, k≧1 のとき, (k+1)' (2k-1)(2k+1)'k2 の分母に着目するとでる LE SI mi 1130 0 k(k+1)=k+k>k (2k-1)(2k+1)=4k²-1<4k であるから, 0<—(4k²−1) <k² <k²+k という大小関係であることがわかる. すなわち, 01 (2k-1)(2k+1kkk+1)より. 辺々の逆数をとると 4 0<- k-1) (2k k(k+1)k(2k-1)(2k+1) という関係を導くことができる. この関係式と (1) で求めた極限値を利用する. tim

(3)≧1より0 (3) k≧1 より 0-(4-1) <k <k+k が成り立つから, 4, k²+kk k(k+1)k2 (2k-1)(2k+1) 右の図 1 4 4k²-1' E+ 4 つまり、 2n1 2n 2n よって, n kink(k+1) 2n 4 また.n k=nk2 =4⋅nΣ- 2n <n<nΣ(2k-1)(2k+1) 4 ②② 1 より k=w (2k-1)(2k+1) k=w (2k-1)(2k+1) (1)(2)の結果を用いると 2n 4 lim nΣ +0 1 (3) n→∞ =4 k=w (2k-1)(2k+1). 82 よって、 ① ② ③とはさみうちの原理より, lim n →∞ 2n 1 k=n k2 - 2