9 三角関数/合成 f(0) =2cos0-3sin (0≦≦T) の最大値は であり,最小値は (イ) f(0)=3sin20-2sincos+cos20 (0/2)は0で最大値 0で最小値をとる. COS で合成 acos+bsin••••••ア を cos で合成してみよう. P(a, b) とし, OP がx軸の正方向となす角 (左回りを正とする)をαとお くアをOP の長さ2+62 でくくることで,次のように変形できる. である. (日大文理・理系) YA P(a,b) b をとり, (星薬大) a b acos+bsin0=√a2+62 cos +sin 0. √√√a²+b² √a²+b² shQ =√2+62 (cosocosa+sinUsinα)=√a2+62cos(O-α) sin で合成 asin+bcoso (ア と cos, sin が入れ替わっていることに注 意)を,図のα を用いて sin で合成すると,次のようになる. a b asin+bcos0=√a2+62 sin 0. +cos ・ √2+62 ✓a2+62 =√a2+b2sin (0+α) a a 0 I a cosa= √a2+62 b sin a= Va²+62 =√a2+62 (sincosa + cossina) どちらで合成するか 最大・最小を求める問題で, 変域に制限があるとき,上のαが有名角でなけ れば, sin よりも cos で合成した方がどこで最大・最小になるかが分かり易いだろう. 1-cos2r sin x, COSの2次式 sin2x x= 2 cos2r= 1+cos2r 2 sin 2.x sinrcosr= を用いて, 2

た方がどこで最大・最小になるかが分かり易いだろう. sinxcosxの2次式 sin2x= 1-cos 2x 2 1+cos 2x cos2x= sin x cos x= 2 sin 2.x 2 を用 sin2x, cos2xの1次式に直せる.この形に直せば, 合成を利用できる. ■解答 ☆sin2d+ ☆ Sin2d+Cos2d 〒 (7) Cosとsm和生 asの半程 同じープ合成 差⇒ ⇒左がきえる (ア) 図のようにαを定めると,-π/2 <α <0であり、 であり。 図1 図2 YA f(0)=2cosd-3sin0=√13 cosθ・ 2 -3 YA ~ + sin 0. ( ①角が消 65in-d- ①ST= ②2乗を 032 √13 /13 0-a OMARIN, -a≤0-a≤π-α =√13(coscosa+sinsina)=√13cos(0-α) ( -αは正) a 1 Oa x 10 57 であるから,図2により, 0-α=-α (つまり0=0) の とき最大値f (0)=2cos0-3sin0=2をとり, V13 -3 ③ 太線部のx座標が 0-αのとき最小値13 をとる. 2=st d-d? (イ) f(0)=3 1-cos 20 2 -sin 20+ 1+cos 20 2 =2- (sin20+cos20)=2 2 sin 20·· 1/1 -+cos 20・ -2-√2 (sin 20 cos+cos 20-sin 4)-2-2 sin (28+) πC π ≦20+ 050のとき、20+なので、2+ cos(θ-α)の取り得る範囲 257m20-528+1 Cos2-52+ 一冊(Cosz+症 12712=√2 √ (STY (207) = 4 4 (-)のとき 0 π π π 4 8 最大値 3, 20+- +1=120-17 のとき最小値 2-√をとる. STm d

(一人) Cus最大 N 〆 (α) √T3 cas (0-2) 1なら大 ↓ 0-2=0 d = L 0-2=0922