仕組みを一から説明して釈迦に説法だと申し訳ないので問題の解き方だけ簡単に。この手の問題は基本的にtoのひとつ前の単語を見れば答えが出せます。
①to の前が名詞です。しかしto以下の内容はmilkやeggsを修飾しているものでは無いので副詞的用法(目的)
②toの前はlikeです。likeは他動詞で直後に目的語をとるので目的語と同じ働きをする名詞的用法
③直前が名詞かつ内容も名詞を修飾しているので形容詞的用法

次に選択肢
ア in Naraはなくても良い情報なので省いて考えます。この場合toの直前にある真の語はstayed。直前が動詞なので副詞的用法
イ 直前が動詞。目的語の位置にあるので名詞的用法
ウ 直前が名詞かつ内容も名詞を修飾しているので形容詞的用法
エ 直前が動詞。目的語の位置にあるので名詞的用法
オ 直前はearly ですがなくてもいい情報なので直前と捉えられるのはgot upという動詞になるので副詞的用法
カ 直前が名詞かつ内容も名詞を修飾するものなので形容詞的用法
キ 前置詞なので論外
ク 直前が名詞かつ内容も名詞を修飾しているので形容詞的用法
ケ やや見慣れない形をしていますがtoの前にI went thereが省略されています。直前が名詞になっていますが内容はthereを表すものではないので副詞的用法
コ 直前が動詞で目的語の位置にあるので名詞的用法
サ 前置詞なので論外

以上が簡単な解説と回答です。詳しい説明が欲しい部分などありましたら解説しますのでお気軽に。長々と失礼致しました。