「この文でなぜsheじゃなくてherを使うのか」→　以下のような文法的な知識が必要です。
① she(代名詞・主格)(S)＋(助)動詞(V) となるので、この場合にはsheは使えません。
② of(前置詞)＋代名詞・目的格 となるので、of her となります。
③ of(前置詞)＋名詞・代名詞・[動名詞] となるので、of [becoming] となります。
④ of her becoming の表現では、herはbecoming(動名詞)の「意味上の主語」と考えます。
文の意味：We are sure of <her becoming a good doctor>. 私達は、＜彼女が優れた医者になること＞を確信しています。

参考にしてください。