a を α-1 となる実数の定数とし,xの3次関数 f(x)=2x3+3(a-1)x2-6ax-a3-20-1 の極大値をg(α) とする. (1) g(a) を a を用いて表せ。 また, b=g (a) として, ab 平面上に b=g(α) の グラフをかけ. (2)(1)で求めた b=g(α) のグラフのa≧0 の部分とα 軸, 軸によって囲まれ る図形の面積Sを求めよ. 【解答例】 (1) f'(x)=6x2+6(a-1)x-6a =6(x+a)(x-1) (i) 4 <1 つまりα>1のとき, f(x)の増減 表は次のようになる。 I -a 1 f'(x) ÷ 0 - 0 + f(x) ' 大 小 したがって g(a)=(-a) =-2a+3(a-1) a²+6a²-a³-2a-1 =3a²-2a-1 4>1 つまりa<-1 のとき, f(x) の増減 (ii) 表は次のようになる. I 1 -0 f (x) + 0 - 0 + f(x) , 大 極小 したがって, g(a)=f(1) =2+3(a-1)-6a-a³-2a-1 =-a³-5a-2 以上より,g(α)= 3a2-2a-1 (a> -1) -a³-5a-2 (a<-1) さらに,このとき g'(a)= 6a-2 (a>-1) -3a2-5 (a<-1) a -1 g'(a) 9(a) - - 0 + (4) よって、グラフの概形は次の図のようになる。 ただし, は除く) b=-a³-5a-2 Ab 13 ° 6-3a2-2a-1 |113 1143 a (2) ≧0 のとき,g (a)=32-24-1 g(a)=0 とおくと, (3a+1)(a-1)=0 0より このとき a=1 Omas1 でg(4)=0 =-(3a²-2a-1) da =-[a³-a²-a] -