332 重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 f(x)=x-6x+9x とする。 区間 a≦x≦a+1 におけるf(x) の最大値 M() を入 1 ds めよ。 指針 まず, y=f(x)のグラフをかく。次に, 幅1の区間α≦x≦a+1 しながら, f(x) の最大値を考える。 なお,区間内でグラフが右上がりなら M (a) = f(a+1), 右下がりならM(α)=f(a) また,区間内に極大値を与える点を含めば, M (a) = (極大値) となる。 更に,区間内に極小値を与える点を含むときは, f(α)=f(x+1)となるαとαの大小に より場合分けをして考える。 CHART 区間における最大･最小 極値と端の値をチェック 解答 f'(x)=3x²-12x+9 =3(x-1)(x-3) ■ [4] f'(x)=0 とすると x=1,3 増減表から, y=f(x)のグラフは 図のようになる。 12/ [ [1] a+1<1 すなわち a<0のとき M(a)=f(a+1) =(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1) =a³-3a²+4 [2] a <1≦a + 1 すなわち 0≦a <1のとき x f'(x) + f(x) ... M(α)=f(1)=4 次に,2<α<3のとき f(α)=f(a+1) とすると a³-6a²+9a=a³-3a²+4 1 20 |極大| 4 ≦αのとき 練習 214 めよ。 yA 4 a 01 a+1 よって 2.3 WIND 2 <a <3であるから,5√33<6に注意してα= 9+√33 !! [3] 1≦a<- 6 9+√33 6 以上から a < 0, 9+√33 6 0≦a <1のとき M (α)=4; 9+√33 1≤a< 6 3 20 |極小 0 [2] [3] y=f(x) | 9±√33 a=−(−9) ± √(−9)²³—4•3•4 6 -1- ゆえに 3²-9α+4=0& DS α3α+1 x + > のとき M(a)=f(a)=a²-6a²+9a +08-v-(n)V 9+√33 60 M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4 ≦αのとき M (a)=a-3a²+4; のとき M(α)=α-6a²+9a [1] 区間の右端で最大 ya IIV [3] IN a01 3 a+1 -最大 [2] ( 極大値)= (最大値) YA 最大 4- Oa1 3 X Na+1 区間の左端で最大 YA TV [最大] L (n=1 05 0 131 X 8 [4] 区間の右端で最大 YA 2a+1 I a a+1 1 a 最大 La+1 3 x a+1 0≤x< のとき ま f(x)=x-3x2-9x とする。 区間 t ≦x≦t +2におけるf(x) の最小値m(t) を求 を CHA 解答 COS IC Lyをも y'=( -13 表は t= t= 0