理由は理解できました！
追加で申し訳ないのですか、(4)の解法を教えてくれませんか？わがまま言って本当にすみません、、

11⁵x-2⁵y＝1…*
(1)～(3)で行ったことと同じことをしていきます。
11⁴x-2⁴y＝1…※
から、11⁴を2⁴で割ると
11⁴÷2⁴＝915…1から、
11⁴＝2⁴×915+1
915＝mとすると、
11⁴＝2⁴m+1　を利用して
11⁸＝(11⁴)²＝(2⁴m+1)²
　＝2⁸m²+2⁵m+1
よって、11⁸を11⁵で割った余りは0、2⁵で割った余りは1となるから、
*は、11⁵xを11⁵で割った余りは0、2⁵で割った余りは1となる。これより
11⁵x-11⁸は11⁵でも2⁵でもわりきれることから、
11⁵x-11⁸＝11⁵・2⁵n
両辺を11⁵で割ると、
→　x-11³＝2⁵n
→　x＝32n+1331
1331＝32×41+19から、
→　x＝32n+32×41+19
→　x＝32(n+41)+19
よって、n＝-41のとき、x＝19であり、*に代入し
11⁵・19-2⁵y＝1
→　y＝95624

2年前の過去最凶の共通テストでしたね…。

ありがとうございます！
本当に助かりした！

ちなみに、本番でこのような問題が出題されたら、私は上記のような解き方はしません。実際、当時に解いたときには、ゴリゴリにユークリッドの互除法で解きました。上記のような解き方を考えるよりよっぽど速いですからね。