一般項の推測と数学的帰納法 a=-1, an+1=an+2nan-2 で定められる数列{an} について (1) a2,a3, as を求めよ。 (2) 第n項 an を推測して, それを数学的帰納法を用いて証明せよ。 ■ (1) az=a²+2・1・α-2=(-1)^+2・1・(-1)-2=-3 a3=az²+2・2・az-2=(-3)^+2・2・(-3)-2=-5 a=a32+2・3・α3-2=(−5)²+2・3・(-5)-2=-7 (2) (1) から, an=-2n+1... (A)と推測できる。 [1] n=1のとき (A)の右辺は -2・1+1=-1 初項は α = -1 であるから,n=1のとき (A)が成り立つ。 [2] n=kのとき (A)が成り立つと仮定すると ak=-2k+1 n=k+1のとき ak+1=ak²+2kan-2=(-2k+1)+2k(-2k+1)- =-2k-1=-2(+1)+1 a1,a2,a3, α4 は 公差 -2 の等差数 よって,n=k+1 のときも (A)が成り立つ。 [1] [2] からすべての自然数nについて (A)が成り立つ。