定積分の計算(2) 210 重要 例題 Sosin "sin mxcos nxdxの値を求めよ。 ただし,m,nは自然数とする。 定積分 00000 文字を含む三角関数の定積分 指針▷ 不定積分を求めるには,次数を下げる方針で進める。 この問題では,積 (p.8 参照) を利用すると 和の公式 sin mx cos nx= 1/12 {sin(m+n)x+sin(m-n)x} ここでの部分に文字が含まれていることに注意! mnは自然数より, m+n=0となるから, m-n につ いて m-n=0, mn=0 の場合に分けて計算する必要がある。 CHART 三角関数の積分次数を下げて、 1次の形に 解答 場合分け忘れずに π I = So sin mxcos nxdx とする。 == sin mx cos nx= -{sin(m+n)x+sin(m-n)x} 2 [1] m-n=0 すなわちmキュのとき I=- 1 [ cos(m+n)x cos(m_n)x m+n m 1 { cos(m+n)x cos(m_n)x m+n m-n m+nが偶数のとき, m-nも偶数で 2m 1/² ( m² + n² 1 m-n I=- 2 m²-n², m+nが奇数のとき, m-nも奇数で 1 1 1/² ( - m²+n I=- m-n [2] m-n=0 すなわちm=nのとき 1=1/25/18² I= + + p.8 まとめ, 基本 207,209 sin 2nx dx= [- An 2m π cos 2nx =0 ポイントは 分解!! 0 2 /2m 2 であるから M² -40.422 単純に —Ssin(m_n)xdx=_ cos(m_n)x m-n ← 2m m²-n² p.323 基本例題 207 参照。 だから としてはダメ! ******** 積→和の公式 cos kn= ←=1_1 このとき, m+n は偶数である。 以上により m+nが偶数のとき I=0, m+nが奇数のとき I= -+C 52 1 ( kが偶数 ) -1 (kが奇数) m+nが偶数 ⇔m, nはともに偶数 またはともに奇数 ⇔m-n が偶数 m+nが奇数 ⇔mとnの一方が偶数 でもう一方が奇数 ⇔m-n が奇数 2m m²-n²