whatの場合は、
これが疑問詞だとしても関係代名詞だとしても、
後ろの節のどこかの名詞が欠けているはずです。
主語・目的語・補語・前置詞の後ろの名詞　のいずれかが足りないはず。
thatはそういうことがないんですね。

今回は空欄の後ろのI won't change my mindは何もかけていないので、whatは入りません。