108 重要 例題 68 高次不等式の解法 次の不等式を解け。 ただし, α は正の定数とする。 x-(a+1)x2+(a−2)x+2a≦0 指針▷まず,不等式の左辺を因数分解する。 因数定理を利用してもよいが,この問題では、 次の文字αについて整理する方が早い。 (x-ar)(x-B)(x-x)≧0の形に変形したら、後は各因数x-α, x-px-yの符号を割 て, (x-a)(x-β) (x-y) の符号を判定する。 なお,α,ß, yに文字が含まれるときは,α, B, yの大小関係に注意する。・・････ 解答 不等式の左辺をα について整理すると (x²-x²-2x)-(x²-x-2) a ≤0 x(x+1)(x-2)-(x+1)(x-2)a≦0 (x+1)(x-2)(x-a) ≤0 0<a<2のときx-lax2+ a=2のとき x≦-1, x=2 2 <a のとき x≤-1, 2≤x≤a よって [1] 0<a<2 右の表から, 解は x≦-1, a≦x≦2 [2] a=2のとき x-a 不等式は (x+1)(x-2)=0となり,x-2 (x-2)^2≧0であるから f(x) x-2=0 または x+1≧0 (20)+(1-8) (D-1)+(ーー) α<β<yのとき (x-a)(x-β)(x-x)≧0の解は (x-a)(x-β) (x-x) ≧0の解は x x+1 a≤x≤ß, r≤x xha, Baxy [1] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a) x (01 検討 3 次不等式を3次関数のグラフで考える 3次関数y=f(x)のグラフについては,第6章の微分法のところで 詳しく学習するが、グラフの概形は右の図のようになる。 このグラフから 4x²-x²-2x x-2 x-a f(x) =x(x-x-2) =x(x+1)(x-2) ゆえに, 解は x≤-1, x=2(x+1+0+(1+6)S-A+brys [3] 2<αのとき 右の表から,解は x-1,2≦x≦a [1]~[3] から 求める解は - 0 0 0 00000 ... a ... 2 …. + + + + + 0 + ++ [3] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a) ... -1... 20 - 0 + 0 - + H + 28. 11.03 - 0 + 0 + 22 +0|0 + + FIT - B 1 a + + 0+ 0 + 2