le ★182_t>0とするとき, 曲線 C:y=x 上の点P(t, f) におけるCの法線 (P を通り, PにおけるCの接線と直交する直線) は,点(-2, 4) を通るという。そのとき,t の [09 小樽商科大] 値をすべて求めよ。

182 放物線の法線が通る点からの求値問題 解法へのアプローチ 2直線の直交の問題では, 「y=mx+n, y=m'x+n' が垂直 ( 傾きの積が-1)」 を利用する。 つまり, y=x 上の点P(t, t) における接線の傾 きは 2t であるから, 法線の傾きをとすると, 2t･m=-1 が成り立つ。 これから、法線の傾き が出てくるので、 法線の方程式が求められる。 解答 y=x2 より y'=2x よって, y=x 上の点P(t, f) におけるCの接 線の傾きは2t t>0であるから, 点P (t, f) におけるCの法線 の方程式は y-f=- = - 12/17 (x (x-t) 2t これが,点(-24) を通るから, 4-t²= 1 2t (-2-t) 2t (2 t) (2+t)=2+t 2 +t>0 より 2t(2-t)=1 2t²-4t+1=0 mm'=-1 y=x21 (-2, 4) CrikT P(t, t²) これを解いて t =212 (t> 0 を満たす) 2±√2 2 x