こんにちは！
その解き方でできま、、！

困ったら微分してみましょう！cos^2x・tan^3x/3を微分してもいいですし、tan^3x＝sin^3x/cos^3xを使って商の微分でもいいです！
どうなりましたか？tan^2xになりましたか？

{f(x)g(x)}' ＝ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
{f(x)/g(x)}' ＝ {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)} / {g(x)}^2

ちなみに
tan^2x＝sin^2x/cos^2x
＝(1-cos^2x)/cos^2x
＝1/cos^2x -1 となり、
積分すると答えは tanx-x+C となります。これが恐らくいちばん早くて簡単なのではないでしょうか。