まず初めのm^2はx^2の間違いです
y=ax^2+bx+cのaにあたる部分が正の値である1のため
グラフにすると頂点が下側に来る関数であることが分かります。
つまり、この関数の最小値はグラフの頂点ということになります。
つまり、今回の条件である yの値が常に正である を満たすには問題の二次関数の頂点が0より大きければ良いわけです。

上記の理由のため、3行目までで式を変形しています。
3行目まで式を変形させると、
x=-(1/2)mの時、最小値-(1/4)m^2+2 をとることが分かります。
つまり、3行目の()の外側の数が0より大きくなれば良いわけです。
そこで、5行目の不等式になります。
その後は因数分解をして、mの範囲を求めています。