まずこの命題の対偶は、「m,nが両方とも奇数または両方とも偶数ならば、m^2+n^2が偶数である。」となります。
次に、対偶を証明することで元の命題を証明します。
(1)m,nが両方とも奇数のとき
m^2,n^2が両方とも奇数であるから、m^2+n^2は偶数である。
(2)m,nが両方とも偶数のとき
m^2,n^2が両方とも偶数であるから、m^2+n^2は偶数である。
(1)(2)より、対偶は真である。したがって、元の命題は真。