108. 関数 fn(x) (n=1, 2,3,...) は, fi(x)=4x²+1, ƒn(x) = ¹ {3x² tfn-1' (t) +3fn-1(t)}dt (n=2, 3, 4, ...) で、帰納的に定義されている. このf(x) を求めよ. 833 .011 (京都大)

108. [解法メモ L (0%) S't fn-1'(t)dt, Sfn-1(t) dt は(x には無関係な) 定数ですが,これらは,n fn-1(t) が異なれば別の定数となりますから, それぞれ 102 と同様で, an, bn などと, (x には無関係だけれども) nに依存する定数 (数列) らしくおいてお きましょう. 【解答】 f(x)=4x2+1, fn(x) = ¹ {3x²tfn-1' (t) +3fn−1(t)}dt = 3x² ſ^'t fn-1' (1) dt+ 3 f ' fn-1(1)dt_(n=2, 3, 4, ...). ここで, 3f Uni' (at 3f ni(t)dt はいずれも定数だから、それぞれ、 10 0≤ (1) an, bn とおけて 0≤x-+ 11 an hn fn(x)=anx2+bm, lxf'(x)=2amx2 -1saszt1 (ただし, a1=4,61=1 1087 12821-1 #bn ここで, Cn=- an=3f2an-1t²dt=[2an-1t³] =2an-11 20200 bn=3f"^ (an-1t³²+ b₂-1)dt = [an-1t² + 3bn-it ] = a -1 +362 -1 -3 (n=2, 3, 4, ). 2n が変われば,すなわち、数 ①,②より,数列{an}は,初項 4,公比2の等比数列であるから, an=4・2n-1=2n+1 (n=1,2,3,….). これと,③より, n=2, 3, 4, において, bn=2"+3bn-1. 3 bn-1 2 2n-1 とおくと, (n=1, 2, 3, ...). とおいた.) bn 2n +1. 3 Cn=Cn-1+1. 2 ACIJA HORMONA ANTHONO 183301-6x7 b ここで,みを よって、数列 から, 以上より, 注bn=3L 120 を参照の