34 重要 例題 201の5乗根の利用動 複素数 α (α≠1) を1の5乗根とする。 300 s s (1) α*+α°+α°+α+1=0 であることを示せ。 (2)(1) を利用して,t=α+α は f2+t-1=0 を満たすことを示せ。 (3) (2) を利用して, cos 2/2 の値を求めよ。 CHART O 1の5乗根 α α=1 を満たす解 (1) 因数分解 x-1=(x-1)(xn-1+xn-2+.....+x+1) を利用。 (2) α=1のとき, ||=1⇔ ||=1⇔ ||=1 (|| は実数) |a|=1 のとき aa=11 (3) α=1の1つの虚数解を α = cos 1/23 x + isin 1/23 解答 (1) α=1から よって αキ1 であるから OLUTION (a-1)(a¹ +a³+a²+a+1)=0 a¹ + a² + a² +a+1=0 a5-1=0 (2) α=1 から |a5=1 ゆえに |a| = 1 すなわち aa=1 したがって, t=α+α から =a²+2+ 2+1/3+ a + ²²-1= Q a tº²+1−1=(a+@)²+(a+a)—1=(a+¹)²+(a+¹)−1 aª+a³+a²+a+1¸ a² t>0 であるから ゆえに よって |a|=1 よって 2 a=cos πisin 15π, t=a+α 1²5 (2) から, t2+t-1=0であるから (3) acosm232x+isin 1/23 とすると12/3であるから αは α=1, α=1 を満たす。 /2 05/317-4 1.5 -=0 -1+√5 4 t=2co$ 2 t=2 cos- ²/² x= -1+√5 Q= とおいてみる。 ・・・・・・!! 2 2 COS T= 5' 2+isin PRACTICE・･･ 20 ④ 複素数α を α=cOS 4 7 (1) °+α+α^+α² + α²+αの値を求めよ。 (2) t=α+α とおくとき, f+f2-2tの値を求めよ。 a 2π 7 [類 金沢大 別解 (1) α≠1 より等 数列の和の公式から 1+a+a²+a³ + a² 1-1-1 とおく。 5 t=-1±√1²-4・1・(-1)-1±√5 1-a 1-a aa = |a|2 -=0 (1) より α*+α²+α²+α+1 = 0 11/23ntisin 1/3は -isin=π 1の5乗根の1つ。 α+α=2x(αの実部) 2 01 x GOST 12 [ 九州大 13 (3) で