156 重心座標 (1) 同一直線上にない平面上の3点をA,B,Cとし, それぞれの位置ベク トルをa,b,c とする.また, 平面上の任意の点Pの位置ベクトルをと する。このときは+2+3=1を満足する実数II, I』を用いて p=xia+x26+xC と表されることを証明せよ. (岩手大) (2) 三角形ABC の頂点A,B,Cの位置ベクトルをà,も,ことし,三角形 の内部の任意の点Pの位置ベクトルをDとする.方は p=la+mb+nč, 1>0, m>0, n>0, 1+m+n=1 の形で表されることを証明せよ. (1) Pが平面ABC上の点である必解法のプロセス 要十分条件は (1) PE 平面 ABC AP=αAB+ BAC をみたす実数 α, β が存在することです. この式 を OP=x₂0A+x₂OB+x3OČ の形に変形していきましょう。 ここで0は平面上 にあってもなくても構いません. (2)Pが△ABCの内部の点である必要十分条 件は線分BC上に点 D が存在して CROA AP=sAD (0<s<1) ⇔精講 と書けることです。ここでDは にあるAD=AB+tBC (0<t<1) と表されます。この式を OP=10A+mOB+noč の形に変形していきましょう. B P D C ⇔AP=αAB+BAC をみたす実数 α, βが存在する ↓ 34! (早大) 始点を0とし、 OP=OA+12OP+1OC 解答 (1) AB とACは1次独立であるから,実数 α, βを用いて AP=AB+ BAC ← PE平面ABC と表すことができる。このとき þ¬ã=a(b−ã)+ß(c-a) D=(1-4-B)a+ab+Bc (1+2+3=(1-α-β)+α+β=1 ここで、x1=1-α-β, x2=α, x=β とおけば (2) PE△ABCの内部 ⇔AP= s (AB+tBC) 0<s<1,0<t<1 をみたす実数 s, tが存在する JAN ↓ 始点を0とし、 OP=LOA+mOB+nOC x₁+x₂+x₂=1 A P Li l+m+n=1 1>0, m>0, n>0 B

弟 であり,b=ma+x2+x3C, 1+x2+x3=1 と表すことができる。 (2) P △ABCの内部にあるとき, AP の延 長とBCの交点をDとすると, 0 <s <1, 0 <t < 1 をみたす実数 s, tを用いて AP=SAD =s(AB+tBC) と表せる.このとき p-a=s(b-a)+st(c-b) すちきれん ◆P∈線分 AD (両端除く) ◆DE 線分BC (両端除く) da A :. p=(1-s)a+(s-st)b+stc ここで, l=1-s, m=s-st, n=st とおけば, 0<s<1,0<t<1 であるから 1>0, m>0, n>0 l+m+n=(1-s)+ (s-st) + st=1 すなわち = la+m6+nc, 10,0,n>0,l+m+n=1 と表すことができる. B NSRE D l+m+n=1 (1, m, n) となる点Pは, 平面ABC 上にあり, 7, =(+,+,-) mn の符号により点Pの位置が定まる. この組 (l,m,n) , 点PのA,B, Cに関する重心座標という.各領域の符(-,+,-)/B 821 0=1/ 研究 異なる2点A,Bのつくる直線上に点Pがある必要十分条件は FUR OP=OA+μOB, 入+μ=1 1 をみたす実数入, μ が存在することであった (標問 151) が,これを平面に拡 張したのが本問である. 同一直線上にない 3点 A, B, C に対して OP=lOA+mOB+nOC, (+,-,-)/ (+, +, +)` C (+,-,+) C\(-, H