参考・概略です

n³－nが57の倍数となるような自然数nのうち、最小のnの値

n³－n＝n(n＋1)(n－1)

　３つの連続する自然数{(n－1)，n，(n＋1)}の積として考えます

57の倍数を，自然数pを用いて，57pとすると

　57p＝3×19×p

　●nが最小なので，19が{(n－1)，n，(n＋1)}のいずれか

　①n－1＝19　と考えると，n＝20、n＋1＝21　で

　　　3×p＝20×21　より，p＝140

　②n＝19　と考えると，n－1＝18、n＋1＝20　で

　　　3×p＝18×20　より，p＝120

　③n＋1＝19　と考えると，n－1＝17，n＝18　で

　　　3×p＝17×18　より，p＝102

以上から，n＝18のときで

　　　n³－n＝n(n＋1)(n－1)
　　　　　＝18×19×17
　　　　　＝57×102