なぜ「腐った食品は〜」とならないのですか？　→　「腐った食品」は、そもそも、近場でも遠方でも、輸送しないでしょう❣
この英文の前後の文がないと、確実なことは言えませんが、少し和訳「実験」をしてみます。
主節の主要動詞could eatを過去形で訳することは必須❣(これを間違えればアウト！)
でも、主節の他の動詞(were grown/lived)、及び従属節の(助)動詞(spoiled/could not be shipped)は過去、現在どちらでも「日本語として自然」であれば良いのではないか？
【実験1】
ここにある英文の動詞(spoiled/were grown/lived)と助動詞(could/could)は全て過去形だから、全部過去の表現で和訳する
[腐った]食品は遠方まで輸送[出来なかった]ので、[住んでいた]所の近くで[栽培された]果物や野菜しか食べる[ことができなかった]。
→　[腐った]はまずいので、[腐る]に変える
【実験2】
主節の主要助動詞(could)だけを過去で訳し、それ以外は全て現在で和訳する
[腐る]食品は遠方まで輸送[出来ない]ので、[住んでいる]所の近くで[栽培される]果物や野菜しか食べる[ことができなかった]。
→　特に問題はないと感じますが、そゆさんはいかがですか？

参考にしてください。