nをAで割った余りをrとすると、n=Am+r(mは整数)と表せます。この時、
n^2
=(Am+r)^2
=A^2•m^2+2Amr+r^2
=A(Am^2+2mr)+r^2
なので、n^2をAで割った余りは、「nをAで割った余りの二乗」に等しくなります。
(正確には、「nをAで割った余りの二乗をAで割った余り」に等しくなります)

例:9を5で割った余りは4
4^2=16を5で割った余りは1で、確かに9^2=81を5で割った余りに等しい