まずsinの中身の変数が(x+α)となっていますが、この範囲は単位円周上では青色の線になっています。(1枚目の写真)

sin(x+α)の値は単位円周上のy座標なので、緑色の線の位置に対応しますが、

この緑色の線が動く範囲は赤色で示された範囲になります。

よって最大値は1,最小値は-1/√5となります。そこに元々ついていた係数の√5をつけて、解答のようになります。

最初に0<α<π/2ということを確認したのは、例えばもしπ/2<α<πだったら2枚目のように状況が変わってしまうからです。

図を書けばよくわかると思います。