頭を外 類 香 EX ③ 69 r は正の定数とする。 次の等式で定まる2つの円 C と C2 を考える。 Ci:x2+y2=4, C2: x2-6rx+y²-8ry+16r²=0 半径は である。 の値は2つある。これらを求めると とする。 (1) C2の中心の座標は (2) C と C2 が接するときの ただし, □ < である。 (3) 2つの円の半径が等しいとき,r=オである。このとき, C1とC2は2つの交点をもつ が,これらの交点を通る直線の方程式はy=[ x+キである。 [関西大 (1) C2の方程式を変形すると 2 (x-3r)²+(y-4r)² = (3r)²(x) > 0 から 求める円 C2の中心の座標は (3r, 4r), 半径は イ3rである。 (2) 円 C の中心の座標は (0,0), 半径は2である。 ゆえに 2つの円 C1とC2の中心間の距離は, r> 0 から √(3r−0)²+(4r−0)² = √25r² =5r 2つの円 C1とC2 が接するのは,次の2通りの場合がある。 [1] 2つの円 C1, C2 が内接するとき |3r-2|=5r 3r-2=±5r ゆえに よって r=-1, 1/1 4 [2] 2つの円 C1, C2 が外接するとき 3r+2=5r r=1 [1],[2] から r= 11 r> 0 から 1 4 ←方程式の両辺に 9r² を (x2-6rx+9r2) +(y²-8ry+16r²)=9r2 ←2円の半径を r1,Y2, 中心間の距離をdとす るとき 2 円が内接 ⇔d=|n-rel, r≠rz ←2円の半径を r1, 12, 中心間の距離をdとす るとき |2円が外接 ⇔d=ntrz

(3) 2つの円 C1 とC2の半径が等しいとき オ2 よって r= 3 FY このとき, 円 C2 の方程式は x2-4x+y2- これから,kを定数として,次の方程式を考える。 k (x2+y2-4)+x²-4x+y²- 16 64 -y+· = 0 3 9 ゆえに ①は, 円 C1 とC2の2つの交点(*) を通る図形を表す。 ① が直線を表すのはん=-1のときであるから -(x2+y2-4)+x²-4x+y²- ma. -4x- 16 5y + 3 2=3r 100 9 =0 16 31+ 16 64 31+ 9 よってy= カ - 64 9 =0 3 4 -x+ =0 ① 25 12 r= = 1/23 のとき、中 (*) 10 心間の距離は 5y= 3 であり, 半径はともに2 である。よって 10 3 2-2<- <2+2 が成り立つから,Cと C2 は2点で交わる。 ←直線を表すための条件 は, x2, y2 の項がなくな ること→k=-1