（　）のところに動詞+αが入って、その後ろにthe prime minister っていう名詞がきて、さらにthat節が来てますよね。
この形が取れるのは③だけだからです。

動詞によって後ろの語順が決まってきます。
convince + O + that節は正しいです。

take into は、intoが前置詞なのでうしろに名詞がくるところまではいいけど、その後ろのthat節は説明がつかなくなります。