参考・概略です

　x²＋y²＝6　　･･･　①
　x＋y＋xy＝1　･･･　②
　　　x＋y＝1－xy　･･･　②'

　展開公式を利用し(x＋y)を消去
　　　　　 (x＋y)²＝(x²＋y²)＋2(xy)
　　　　　(1－xy)²＝(6)＋2xy
　 (xy)²－4(xy)－5＝0
　　(xy＋1)(xy－5)＝0

　(1)xy＝－1 のとき、②'より x＋y＝2
　　(x，y)を、t²－2t－1＝0 の2解とし、t＝1±√2　より
　　(x，y)＝(1＋√2，1－√2)，(1－√2，1＋√2)

　(2)xy＝5 のとき、②'より x＋y＝－4
　　(x，y)を、t²＋4t＋5＝0 の2解とし、t＝－2±i　より
　　(x，y)＝(－2＋i，－2－i)，(－2－i，－2＋i)