x,yは3,5のときだけではなく、他の値を取るときには成り立ちます。そのため、kを使って表し、kに整数を代入することで具体的な数字の解が得られます。

たとえば、x=3,y=5になるのは、

x=-3k+3 y=2k+5 のkに0を代入したときです。

ということで、代入する数を変えることで解は無数に出てきますが今回はx,yが自然数ということなので

-3k+3と2k+5が自然数になるようなkの値を探します。

よって、kの範囲は、-3k+3>0かつ2k+5>0
整理すると
1>k, k>-5/2の共通範囲は

-5/2<k<1です。

これを満たす整数kは-2, -1, 0となるので

x,yは9,1と6,3と3,5となります。