参考・概略です

(ア)立体の表面上の最短距離なので、展開図を考えます

　展開図の長方形ＥＡＤＨを考え、最短距離が対角線ＥＤである事から

　　三平方の定理を用いて、{ＥＡ＝7，ＡＤ＝14}から

　　　最短距離ＥＤ＝7√5

(イ)2つの三角錐と１つの三角柱に分けて考えてみます

　ＦＧを含み、面ＥＡＤＨに垂直な平面で切断し辺ＡＤとの交点をＰとします

　ＧＣを含み、面ＥＡＤＨに垂直な平面で切断し辺ＡＤとの交点をＱとします

　　三角錐ＦーＡＢＰ，三角錐ＧーＣＤＱ、三角柱ＦＢＰーＧＣＱができます

　　ＡＰ＝ＤＱ＝3　なので、三平方の定理を利用しＢＰ＝ＣＱ＝4
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●三角錐ＦーＡＢＰ{底面：△ＡＢＰ＝6、高さ：ＦＢ＝7}

●三角錐ＧーＣＤＱ{底面：△ＣＤＱ＝6、高さ：ＣＣ＝7}

●三角ＦＢＰーＧＣＱ{底面△ＦＧＰ＝14、高さ：ＢＣ＝4}

よって、求める体積は

　{(1/3)×6×7}×2＋{14×4}＝14×2＋56＝84