5-6-7-2-4-3-1
堅苦しく説明すると、
praise A for B･･･AをBの事で褒める
make O 動詞の原形･･･Oを（動詞の原形）にさせる
というような意味になります！
それを問題文はもうちょいくだけた言い方になってます！
多くの人が称賛したのは技術なので、
Many people praised the technology for
となり、the technology のどこを称賛したかというと、
画像を(より鮮明に)見せる(←この“せる”が使役の意味)
となるので、
making images appear
という並びになります！
分かりづらかったらごめんなさい🙇‍♂️

解答：(⑤Many people) (⑥praised) (⑦the technology) (29 ②for) (④making) (③images) (30 ①appear) sharper on TV.

以下のように考えて、英文を作ります。
多くの人が、テレビの画面上で映像をより鮮明に見せる技術を称賛しました。
→　英文の根幹である「主語＋動詞」を見つける
→　多くの人が＝主語：Many people ＋ 称賛した＝動詞：praised
→　praise O for …：Oを…の理由で称賛する
→ praised the technology for(前置詞)＋名詞・代名詞・動名詞
→　praised the technology for making(動名詞：make 使役動詞)
→　making O ～(動詞の原形)：Oを～させる → making images appear(動詞の原形)
⇒　Many people(S) praised(V) the technology(O) for making images appear sharper on TV.

参考にしてください。