基本 例題 181 対数関数の最大・最小 (2) |x≧2,y≧2,xy=16のとき, (10g2x) (10g2y) の最大値と最小値を求めよ。 また、 そのときのx,yの値を求めよ。 基本180 指針▷条件 x≧2,y≧2,xy=16 と,値を求める (log2x) (10g2y) の式の形が異なるから扱いにく い。したがって, 式の形を統一することから始める。 このとき,(log2x)(log2y) の 10g を取り外すことはできないから、条件式を対数の形で表 す。 条件式の各辺の2を底とする対数をとると log2x log22, log2 y≥log22, log2xy=log216 (log2x+log₂ y=4) よって, 10gx=X, log2y=Yとおくと, この問題は 158 DIARE X≧1,Y≧1,X+Y=4のとき, XY の最大値・最小値を求める問題になる。 後は 条件の式 文字を減らす 変域に注意 の方針による。 58 MB *SO CHART 多項式と対数が混在した問題 式の形をどちらかに統一 解答 x≧2,y≧2,xy=16の各辺の2を底とする対数をとると log2x≥1, log2 y≥1, log2x+log2 y=4 log2x=X, logy = Y とおくと X≧1, Y≧1, X+Y=4 X + Y = 4 から Y=4-X Y ≧1 であるから 4-X≧1 X≧1 との共通範囲は 1≦X≦3 また ...... (log2x) (log2 y) =XY=X (4-X)=-X2+4X =-(X-2)^+4 これをf(X) とすると, ② の範囲に おいて, f(x) は ①から ① ゆえに (2) f(x)↑ 4 3 T 1 I X ≤3 X=2 で最大値 4, X = 1, 3 で最小値3 をとる。 X=2のとき Y = 2, X=1のとき Y = 3, X=3のとき Y = 1 log2x=X, logy = Yより, x=2X, y=2' であるから (x,y)=(4,4) のとき最大値 4, (x,y)=(2,8), (8, 2) のとき最小値3 1 01 2 3 4! X TRAHO 0121804 log2xy = log2x+log2 y また 10g216=10g224 gol=$8.gol 消去する文字 Yの条件 (Y≧1) を 残る文字 Xの条件 (X≦3) におき換 える。これを忘れないよう に注意する。 2次式は基本形に直す yの値はy= てもよい。 16 x から求め