回答ありがとうございます🙇🏻‍♀️
そうですね、私のやり方はx≠0の時のみを表す式でx=0の場合を考えてないから間違いということみたいですね。元の式をみればa≠2なんてすぐにわかるのに、自分で書いた式に惑わされました💦

＿xは未知数てすから、a=2+(1/x)では、何も言っていないのと変わりません。aは未知、と言っているのに等しいです。
＿また、(a-2)✕x=1の式を示して、初めてx≠0が保証されます。
＿極限式では、lim(x→+0){2+(1/x)}とか普通に出て来ますよね？これも、正確には、x=0と言う訳ではありませんが、式に書いたら保証されている、と言うのは違いますよ。

ぺんぎんさん
教えていただいてありがとうございます
もとの問いで式変形が何を目的とするのかわからなかったこともあって、少なくとも同値か同値でないかの方だけ考えてみたのですが、
ax=2x+1となるxが存在する、と
a=2+(1/x)となるxが存在する
というのは同値ですらないのでしょうか？
質問者さんでもないのに追加質問してしまいました

＿ax=2x+1と、a=2+(1/x)と、は同じ意味を持ちます。a=2+(1/x)とa≠2とは、同じ意味では有りません。a≠2は、xに付いて何も語っていないからです。
＿同値、とは、数学では通常、命題に対して用いる言葉です。命題には、仮定と結論とが必要です。数式では、仮定と結論との、どちらかにしかなり得ませんので、同値と言う言葉は使わない方が良いでしょう。
＿(x∈R，a∈R)⇨(ax=2x+1となるxが存在する。)と、(x∈R，a∈R)⇨(a=2+(1/x)となるxが存在する。)と、ならば、命題となり、同値と言えます。

おかげさまでわかりそうな付近にいるような気がします

ax=2x+1とa=2+(1/x)は同じ意味、は聞けて安心しました
a=2+(1/x)とa≠2は同じ意味でないというのは私の主張の外なのでアレですが
ただ最初の私の回答はa=2+(1/x)とa≠2が同じ意味、にも読めますね、すみません

a、xは実数。∃x:ax=2x+1
というのと
(x∈R，a∈R)⇨(ax=2x+1となるxが存在する。)
というのは同じことのように感じてしまうのですが、違う感じでしょうか

＿殆ど同じです。設問文が書いていないのでわかりませんが、回答がa≠2なので、aの条件を聞いていることは確かです。
＿ですから、最初のax=2x+1とa=2+(1/x)とが同じ意味という事は、aに付いて何も解いていない、aの条件を明示していない、と言う事です。和　さんの回答では、るく　さんは、a=2+(1/x) でマルが貰える、と思ってしまいます。

＿不味いのは、x≠0が保証されている、と言う表現です。証明出来る、と言う事と、証明した、と言うことは意味が違います。
＿明示的に(a-2)✕x=1より、(a-2)≠0且つx≠0と示さないと、x≠0 とは言えません。

はい、ありがとうございました
るくさんの疑問が晴れているかはわかりませんが

お2人ともありがとうございます。理解出来ました！

＿良かったです。