A 答 詳解 コールバー ✓ 281 縦の長さが1, 横の長さが3である長方 形ABCD において, 長方形をできるだけ大 きい正方形で切り取れるだけ切り取る。 残 った部分の長方形も同様に,その長方形を できるだけ大きい正方形で切り取れるだけ 切り取る。 右の図はこの作業を何回か繰り 返したときの図である。 この図の中にある長方形で, 長方形 ABCD と相似で ある長方形を見つけ、それを用いて √3 が無理数であることを証明せよ。 ホーム オプション 学習ツール 学習記録 B 答 √3 F G E HI 1 KLC 詳解 D R 4

A 答 詳解 AE=AB=1より ED=√3-1 EF=ED=√3-1 より 281 縦の長さが1. 横の長さが3である長方 FH=FG=2-√3より よ HJ=(√3-1)-(2-√3)=2√3-3 HK: HJ = (2-√3) (2√3-3) =1:√3=AB:AD したがって, 長方形 ABCD と長方形 HKCJ は相似 である。 V3 が有理数であると仮定する。 このとき,2辺の長さが√3,1の長方形 ABCD を 1種類の正方形で敷き詰めることができる。 しかし, 正方形で敷き詰める操作の途中で長方形 よって FG=1-(√3-1)=2-√3 ▼ツールバー ホーム オプション 学習ツール A 学習記録 √√3 2-√3 ABCD と相似な長方形が現れ, この長方形を正方形 B で敷き詰めていく操作はいつまでも終わらない。 これは長方形 ABCD が1種類の正方形で敷き詰めることができることに矛盾する。 したがって, √3 は無理数である。 E √3-1 F HI GKLC D