見た目に反して手こずりましたが、答えはf^n(x)=(5^n*x^2+2*n*5^(n-1)*x+n*(n-1)*5^(n-2))*e^(5*x)です。
とりあえず実験して答えをある程度予想して、それから漸化式を立てて計算しました。