第2問(配点30) [1] αは負の実数である。 関数 f(x)はx^2の係数が1である2次関数で, f(a)=f(1)=b を満たしている。また, F(x)=Sof(t)dt とする。 (1) 6=0 とする。 ①より、f(x)=(x- ア イ で極小になる。 また, F(0)= ア I 個もつ。 x- と表される。 ただし とする。 よって, F(x) は x= ア で極大, x= イ であるから, y=F(x)のグラフはx軸との共有点を (数学ⅡI・数学B 第2問は次ページに続く。) (2) b≧0 とする。 ①より、f(x)=x²- よって, f(x)=0 は ク FLEX+Seko の解答群 オ ク + ⑩ 実数解をもたない ② 異なる2つの実数解をもつ √x + オ ① 重解をもつ キ と表される。 (数学ⅡI・数学B 第2問は次ページに続く。) 2 G

また,y=f(x)のグラフはy=(xーア)(x 向に ケ だけ平行移動したグラフであるから, F(x) (x≦1) は つ。 の解答群 イのグラフをy軸方 をも ⑩ 極大値のみ ②極大値と極小値 ④ 極大値と最大値と極小値 ① 極小値のみ ③ 極大値と最大値 ⑤ コ 極大値と最大値と極小値と最小値 (数学ⅡⅠ・数学B 第2問は次ページに続く。)

第2問 [1] (1) 関数f(x)はx²の係数が1である2次関数で, f(a)=f(1)=0 であるから, f(x)=(x-a)(x-11) と表される。 F'(x)=f(x), a<0<1であるから, F(x)の増減は次の表のようになる。 1 0 + x F'(x) + F(x) a 0 極大 Point ... 極小 よって, F(x)はx=α で極大, x=1で極小に なる。 また, F(0)=0 であるから, y=F(x)のグラ フの概形は右のようになる。 したがって, y=F(x)のグラフはx軸との共有点を13個もつ。 (2) 関数f(x)はx2の係数が1である2次関数で, f(a)=f(1)=6であるから, f(x)=(x-a)(x-1)+6 =x²-(α+1)x+a+¥6 と表される。 また, f(x)=0 の判別式をDとすると D={-(a+1)}2-4(a+b)=a²-2a+1-46 =(azy² Al a < 0, b≦0 であるから、D>0 が常に成り立つ。 a AL a よって, f(x)=0 は異なる2つの実数解をもつ｡ (②) また, y=f(x) すなわちy=(x-a)(x-1)+6のグラフはy=(x-a)(x-1) のグラフをy軸方向にだけ平行移動したグラフ であるから, f(x)=0 の解を α, β(a <β) とすると, a≤a<1≤B C ta bo x≦1における F(x) の増減は次の表のようになる。 V 1 x F'(x) + 0 F(x) 極大 ゝ よって, F(x)(x≦1) は極大値と最大値をもつ。 (③) V x Sof(x)dx=0 (a-1)²>0, -4b≥0 16 ≦0 であるから, グラフは下に 平行移動する。 ▶Point 関数の増減 極値 関数f(x) の増減 ・ 極値の問題では,導関数 f'(x) の符号の変化を調べて増減表をかくのが基本である。 f'(x)=0 の実数解が具体的に求められない場合は,解をα, βなどの文字を使って表して考えるとよい。 式が与えられていない関数の特徴を考察する問題に慣れておこう。