何回計算しても質問者様のS(4n)の一般項だとn=1の時0.3125となってしまうので
自分なりに計算してみました。
まず質問者様は恐らくですけど
(1/2-1/4+1/8-1/16)×Σ(k=1→n) (1/16)^n-1
=5/16×16/15{1-(1/16)^n}=1/3{1-(1/2)^4n}としていると思われます。
ですが、実際は
a1=1/2 a2=-1/4 a3=-1/8 a4=1/16となっています
何故かと言うと
n=1の時sinの値は正でcosの値は0
n=2の時sinの値は0でcosの値は負
n=3の時sinの値は｢負｣cosの値は0
n=4の時sinの値は0cosの値は正
よってS1=3/16となり
S(4n)=1/5{1-(1/2)^4n}となります。