4 iを虚数単位とし, 複素数αを α = COS 27+ + isin 2 とする。 αは1の7乗 根のひとつでありα+α+α+ α + α + α +1=0を満たす。 αとは互い に共役な複素数であり, 25 および α と α についても同様である。 複素数平面において14個の点A, A1, ·......, A13 を A2n(α² ) A2n+1 (-α+4) (n=0,1,2) A2n+1(-"-3) (n=3,4,5,6) と定めると AoA・・・・・・ AA13は下図のような正十四角形になる。 y A6(3) A7(-1) A5(-α6) Ag(4) A⁹(-α) A₁(α²) (n=0,1,2,･････, 6) A10(5) Ag(-a) A₁1(-α²) A2(α) A12(6) A₁(-α¹) Ao(1) A13(-α³) I り このとき,対角線 AoAs, A2A6. A4Ayo が1点で交わることを証明した。 線 AA5 と AA10 の交点をP(z)として、以下の問いに答えよ。(土) (1) P が対角線 AA10 上にあることから, zとαの実部は等しい。 これを利用し て,z+ αの5次以下の整数係数の多項式で表せ。 (2) AlAs OA は平行なので、ある実数kを用いて AP=kOAgと表すことが できる。 これを利用してzをa, kを用いて表せ。 (3) (2) 実数をαの5次以下の整数係数の多項式で表せ。 必要であれば a= a¹ + a² EESTERS IN が成り立つことを利用してもよい。q(≧=>0 (4) A2,A6, P が同一直線上にあることを証明せよ。 以上により,対角線 A0A5, A2A6, A4 Alo が1点で交わることを証明できる。