色々なやり方が考えられますが、2通りの解法でやってみます。
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(解法1)ACGEを通る平面で分割する。
BDの中点をNとすると、四面体BDGMは以下の2つの立体に分割できる。
・△GMNを底面とする三角錐BGMN
・△GMNを底面とする三角錐DGMN
△GMN＝□ACGE-△AMN-△CGN-△EGM＝72√2-9√2-18√2-18√2＝27√2
BN＝DN＝3√2
BGMN＝△GMN×BN÷3＝54
DGMN＝△GMN×DN÷3＝54
BDGM＝BGMN+DGMN＝108
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(解法2)直方体から透明な部分を切り取っていく。
直方体ABCD-EFGH(ｱ)は、以下の5つの立体に分割できる。
・△ABDを底面とする三角錐ABDM(ｲ)
・△BCDを底面とする三角錐BCDG(ｳ)
・□BFEMを底面とする四角錐BFEMG(ｴ)
・□DHEMを底面とする四角錐DHEMG(ｵ)
・四面体BDGM(ｶ)
(ｱ)＝6×6×12＝432
(ｲ)＝△ABD×AM÷3＝18×6÷3＝36
(ｳ)＝△BCD×CG÷3＝18×12÷3＝72
(ｴ)＝□BFEM×FG÷3＝54×6÷3＝108
(ｵ)＝□DHEM×GH÷3＝54×6÷3＝108
(ｶ)＝(ｱ)-(ｲ)-(ｳ)-(ｴ)-(ｵ)＝432-36-72-108-108＝108