158 BGCOLOREX 重要例題 80 最大・最小と実数解条件 (1) 実数x,yがx2+(y-1)2=5を満たすとき, 2x-yの最大値と最小値,およびそ のときのx,yの値を求めよ。 |指針 条件式の使い方は、文字を減らす方針といっても, x2+(y-1)2=5をxやyについ て解いていたのでは、複雑な式が出てきてどうにもならない。 そこで見方を変えて, 2x-y=kとおく。 そして,文字を減らす方針で, y を消去すると x2+(2x-k-1)²=5 x は実数であるから,この2次方程式は実数解をもつ。 解答 2x-y=kとおくと y=2x-k これを x2+(y-1)²=5に代入すると x2+ (2x-k-1)=5 →xの2次方程式 EX&TER したがって, 実数解をもつ ⇔ D≧0 を利用すると,kの値の範囲が求められる。 整理すると ① 5x2-4(k+1)x+k²+2k-4=0 xは実数であるから,2次方程式 ② は実数解をもつ。 ゆえに, 2次方程式②の判別式をDとすると D≧0 D={-2(k+1)}2-5(k²+2k-4)=-(k²+2k-24) 見方をかえ yを消去。 PRIRE 1145S える