練習 1073 ≦x≦5 を満たすすべてのxについて, 2次不等式 x-2ax+2a+4 > 0 が成り立つよう な定数αの値の範囲を求めよ。 f(x)=x-2ax+2a+4 とおくと f(x)=(x-a)^- α² + 2a + 4 3 ≦x≦5 を満たすすべてのxに対して f(x) > 0 となるための条件

は、3≦x≦5におけるf(x) の最小値mがm> 0 となるときである。 (ア) a <3 のとき f(x)はx=3のとき最小値をとるから m = f(3) = 13-4a m>0 より a < 13 4 a <3 a <3 であるから (イ) 3 ≦a≦5のとき f(x) は x = α のとき最小値をとるから m = f(a) = -a²+2a+4 a²-2a-4 <0 1-√5 <a <1+√5 3 ≤a<1+√5 >0 より これを解くと 3 ≦a≦5 より (ウ) 5 <a のとき f(x) は x = 5 のとき最小値をとるから m = f(5) = 29-8a 29 m>0 より a< 8 これはα>5を満たさないから不適。 (ア)~ (ウ)より, 求めるαの値の範囲は a<1+√5 a 3 5 3 a 5 35a