388 ROKUREY 重要 例題 232 置換積分法を利用した定積分の等式の証明 (1) ①① ①00 f(x) は連続な関数, α は正の定数とする。 (1) 等式Sof(x)dx=Sof(a-x)dx を証明せよ。 ca ex (2)(1)の等式を利用して,定積分 Sox fea-xdx を求めよ。 201 (2) f(x)=- ex とすると, f(a-x)= ex- tea-x ea-x ea-x tex このことと (1) の等式を利用して方程式を作る。 解答 (1) a-x=t とおくと x=a-t ゆえに dx=-dt xとtの対応は右のようになる。 よって 指針 (1) a-x=t とおくと, 置換積分法により証明できる。 なお, 定積分の値は積分変数の 文字に無関係である。すなわち Sof(x)dx = Sof(t)dt に注意。 は、逆 (2) I=S ca ex Jo ex +eª-x² また ゆえに f(x)+f(a-x)=1 よって Sof(x)dx + Sof(a-x)dx=Sodx ゆえに I+I=a したがって 1 (右辺)=Sof(a-x)dx=Sof(t)(-dt) = Sof(t)dt を考えSof(x)dx=(左)&hlol-43) dx とし, f(x)=- ex とする。 (1) の ex tea-x 等式 Sof(x)dx=Sof(a-x)dx から I=Sof(a-x)dx f(x)+f(a-x)=x-x+poster x 借りて、求めにくいf(x)=- t e ess a-x 0 → a a → 0 であり + 1)²0 (- a I= 1=002 + (²013) (1) 基本 228 f(x)+f(a-x)=1 UFC (CTEN pie- 重要 233. AGERE S'f(x)dx >= f(x) dx 定積分の値は積分変数の 文字に無関係。 (nie) ① (1), (2) の問題 結果の利用 15:51) 検討ペアを考えて利用する (2) の解答では,(1) で示した等式S。f(x)dx=S。f(a-x)dxと関係式f(x)+f(a-x)=1の力を ex tea-x extea-x=1 <Sidx は fax と書く。 ◄ S₁dx=[x]" = a の定積分を求めた。 このように, f(x) だけでは扱いにく ex tea-x くても、f(x) f(a-x) のペアを作ると扱いやすくなる場合があることを覚えておくとよい。