数学
高校生
⑵の質問です。
写真2枚目解説のように、「(三角形)-(円の一部)」で斜線部を求めるのではなく、写真3枚目のように、「斜線部を、1から2・2から4の2つの部分に分けて積分」という解き方では答えが一致しませんでした。何故この解き方ではいけないのでしょうか？
8 点A(4,0)を通る接線を楕円x2+4y2=4に引いた。
その接点の座標を(p, g) とするとき,次の問に答えなさい。
ただし, p>0,g> 0 とする。
(1) 座標 (p, g) を求めなさい。
(2) 楕円と接線とx軸とで囲まれた図形 (図の斜線部分)の面積
を求めなさい。
y↑
(p, q)
A
4
2
8 (1) 楕円の方程式x2 +4y?=4の両辺をxで微分して,
dy
g≠0 より,点(p, g) での接線の傾きは = 1/17
dx
よって,接線の方程式はy-9
(2) (1)より、接線の方程式は
これが点Aを通るので,
また, 点(p, g) は楕円上にあるので, p2+4g²=4…..②
また, x2 +4y2=4よりy2 =
ここで,
P
4g
√3
① ② より 4p=4 ⇔p=1 ②に代入してd=2 q> 0 9 = 2
3
よって、接点の座標は (1,27
よって
S=
√3
4-x2
(xp)であり,
0-9=-(4-p) <> 4q²=4p-p² ⇒ p² +4q² = 4 p...
2x+8y dx
==
π
√4-4sin20
2
dy=0
なので、楕円のうち第1象限の部分の方程式はy=
求める図形の面積をSとするとS=S'(-x+2/3) dxfv4=
14-x2
-
√4=
-dx
1
2√3 (x-1) > y=-.
π
= [0+ sin 20 ] = -√3
2
3
√√3
T
3√3 - (²3-√³)=√3 - 353
O
x+2/3
ター
2
√3 2√3
√3 3√3
Si dx
(x+2)=1/2.3.23 / 国 三角形の面積として求めている
|dx=
x=2sin0 とおくとdx=2cosldo であり,cos≧0なので
√²-√4 = x² dx=√₁ √/4
2
FR
･2cosodo=2cos20d0 = 2.
(p, q)
√3
2
/4-x2
2
(p, q)
1 + cos 20
2
2
-do
x 1
0
(0≤x≤2)
π
4x
A
6
→>>> 2
->>
2
J E^+ +) 4x² px
x -
[]+$
2
6 2
-2 [(4-2²)√4x²)² = 5(2-1) (2)
(-353)
112
23/3
11
√3
K
2
+
PC
?
+
3√√3
2
+
2
3
-3√3+ 8√3+ 18√√3
12
√3
[ (² 8² + ²² )a^ = { [²] + $0
-
3
√3
:) + 2√5 ² 1 2 = -√3+²
4√3
3
√3.
3
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