022 [最大公約数と最小公倍数] 次の問いに答えなさい。 (1) 最大公約数が 20, 最小公倍数が240である, 互いに異なる2つの自然数x,yの組をすべ て求めよ。ただし,x<y とし,答えがx=●,y=■の組み合わせのときは, (x,y)=(■) と書け。 ✓ (2) 最大公約数が10, 最小公倍数が60 である, 互いに異なる3つの自然数x,y,zの組をす べて求めよ。ただし,x<y<zとし,答えがx=●,y=■, z=▲の組み合わせのときは, (x,y,z)=(●■▲) と書け。 ガイド x =20x,y=20g' (ただし,x,y'′ は1以外に公約数をもたず、 x<y') と表される。

一の集合の と最小 さい。 20, 最 しょく ■ と書 10 最 だし、 Dy' (た 然数を 並ぶか -何回わ 素因 それば 022 022) (1) (x, 025 の解答 y)=(20, 240), (60, 80) (2) (x, y, z) = (10, 20, 30), (10, 20, 60), (10, 30, 60), (20, 30, 60) 解説 (1) 最大公約数が 20 だから, x=20x', y=20y' (ただし,x,yは1以外に公約数をもたず, x<y') と表される。 このとき, 最小公倍数は20x'y' となるから, 20x'y' =240 x'y'=12 したがって, (x,y)=(1,12), (34) よって,x<y' から, 求める x,yの組は, (x, y) = (20, 240), (60, 80) (2) 最大公約数が10=2×5, 最小公倍数が60=22×3×5より, x,y,zはそ れぞれ, 1, 2, 22,3,32,5 の中から選んだ数の積で表されることになる。 x,y,zのいずれにもふくまれる数である 「最 「大公約数」 が 10 = 2 ×5 なのだから,x,y,zの いずれにも2と5を素因数にもつ。 すなわち, 10 の倍数であるということがわかる。 あとは, 素因数の5は1つしかないので, x<y<zより、 残りの素因数1, 2 3の組み合わ せで, x,y,zを決定していけばよい｡ (i) x=10のとき y=10x (1x2)=20, z=10x (1×3)=30 y=10x (1x2)=20, z=10x (2×3)=60 y=10x (1×3)=30, z=10x (2×3) = 60 (ii) x=20のとき y=10x (1×3)=30, z=10x (2×3) = 60 よって, (i), (i)より 求める x,y,zの組は, (x,y,z) = (10, 20,30), (10,20,60), (10, 30, 60), (20, 30, 60) 777 777 777 777 であ 155 024 |解説 15 (6) (8) (9) 02