一つの文で動詞は一つしか使えなくて、最初にeatを使ってし待っているので、seeは不定詞か動名詞にします！
seeの前にafterがついていてafterのような前置詞（afterの他にもwithoutがよく出てきます）の後は動名詞しか使えないというルールがあるのでseeにingがつきます！

みた後って見ることをした後という解釈で前置詞の後に基本、to seeなどはこないからではないでしょうか？！

あっているかもわかりませんが、、。
よかったら参考までに使ってください💦

「〜した後で(に)」という表現だと「after doing」になるからだと思います